O satélite em movimento, sujeito unicamente a força da gravidade, descreve uma elipse no espaço, sendo uns dos focos a Terra. Tanto o satélite quanto a Terra são considerados esféricos e homogêneos no que diz respeito a distribuição de massa, podendo reduzi-los a um ponto material.

No presente post  vai-se a simular a posição de um Satélite em sua órbita. Se mostra primeiro a solução analítica e logo o resultado gráfico no Matlab.

 

1. Análise do Problema:

2.1 Teoria

Para a determinação da posição dos satélites, é necessário o conhecimento de:

a. Lei da Gravitação Universal (Newton)

“Toda partícula de matéria no Universo atrai todas as outras partículas de matéria com força diretamente proporcional ao produto de sua massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas”. 

De forma analítica:

\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2}\mathbf{r_N}       (1)

  • \mathbf{F} é a força pelo corpo m devido ao corpo M medida em newtons.
  • G = 6.67\times 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{Kg^{2}} é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força.
  • M e m são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas em quilogramas.
  • r é a distância entre os dois corpos, medida em metros.
  • \mathbf{r_{N}} é o vetor unitário do vetor que liga o corpo M ao corpo m.
b. Lei de Movimento:

De forma analítica:

\mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{v_m}}{dt}=m\frac{d^{2}\mathbf{r_m}}{dt^2}       (2)

Operando nas equações (1) e (2), supor M \ll m e movimento num plano em coordenadas polares (r,\nu), pode-se demostrar que:

r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}

Uma representação gráfica pode-se olhar na figura.

 

Onde:

  • F = foco da elipse (Terra)
  • a = semi-eixo maior.
  • b = semi-eixo menor.
  • e = excentricidade.
  • \nu = anomalia verdadeira.
  • E = anomalia excêntrica.
  • S = posição atual do satélite.
  • r = distância geocêntrica da Terra ao satélite.

Pode-se mostrar também, que:

\tan\dfrac{\nu}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}

2.2 Parâmetros

Para os cálculos se precisa dos seguintes dados:

  • P = 2(horas)\ast 60(min) \ast 60 (seg) (Período do satélite)
  • \mu = GM = 398601.8 \; \frac{km^3}{s^2}
  • e = 0.6 (excentricidade da elipse)
  • R_{t} = 6378.16 \; Km (Radio da terra)
  • M_0 = 0
  • t_0 = 0

2.3 Solução Analítica

O processo a seguir para o cálculo da posição do satélite é o seguinte:

  • Passo 1: M(t)

M(t) = M_0+\frac{2\pi}{P}(t-t_0)

  • Passo 2: E(t)

E = M+2\sum\limits_{i=1}^{40}{\dfrac{1}{n}J_n(ne)\sin(nM)}

  • Passo 3: \nu(t)

\nu = 2\ast \arctan \left( \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan\dfrac{E}{2}\right)

  • Passo 4: r(t)

r = \frac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\nu }

Onde:

a=\root3\of{\mu\left(\frac{P}{2\pi}\right)^2}

  • Passo 5: Graficar em coordenadas polares r(t)\nu(t) e retangulares.

2.4 Solução Gráfica

A continuação se mostra os resultados de plotar em Matlab em coordenadas Polares como Retangulares para dois Períodos (P) de dois e vente e quatro horas.

Órvita do Satélite com P=24

Picture 1 of 4

Em Coordenadas Polares

2.5 Código de Programa no Matlab

 

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close all
clc% Dados

P=2*60*60; %periodo=2(horas)*60(min)*60(seg)
divi=P*0.01;
t=0:divi:P;
RT=6378.16; %radio da terra em Km
e=0.6; %excentricidade da elipse
u=398601.8; % u= GM = Km^3/s^2

% PASSO 1: M(t) Anolamia meia
M=((2*pi)/P).*t;
M = mod(M,2*pi); % modulo 2*Pi

%% PASSO 2: Anomalia Excentrica E
for n = 1:40,
bes1(n,:) = 1/n*besselj(n,n*e)*sin(n*M);
end;
bes0= sum(bes1);
E = M + 2*bes0;

%% PASSO 3: Angulo de anomalia verdadeira

v=2*atan(sqrt((1+e)/(1-e))*tan(E/2));

%% PASSO 4: Semi eixo maior a

a=(u*(P/(2*pi))^2)^(1/3);
r= a*(1-e^2)./(1+e*cos(v));

% Orbita do satelite
[x1,y1] = pol2cart(v,r); %conversão de polares a cartesianas

% Circunferencia da terra
[Xterra,Yterra] = pol2cart(linspace(0,2*pi,length(t)),RT);

%% PASSO 5: Graficas

figure
polar(v,r,'o') %grafica em polares
title('ORVITA DO SATELITE')

figure
plot(Xterra,Yterra,x1,y1,'o'),grid % grafica em rectagulares
set(findobj(gca,'Type','line'),'LineWidth',3)
title('ORVITA DO SATELITE')
xlabel('km'),ylabel('km')
legend('Terra','Órbita do Satélite');
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